Hej alla,
auch von uns ein paar Erfahrungen dazu: sind zur Swedbank gelaufen, nachdem wir unser Haus vor zwei Jahren gekauft haben. Die wollten uns auch nehmen, aber erst mit dem Zettelchen vom Skatteverket in der Hand, auf dem das ersehnte Nümmerchen drauf steht. Eine Verdienstbescheinigung des deutschen Arbeitgebers war dabei auch sehr hilfreich. Haben dann nach rund einem halben Jahr (!) ein Konto gehabt. Seitdem machen wir Online Banking wie in DE (mit der Säkerhetsdosa der Swedbank) alles ohne Probleme. Überweisungen von DE nach SE (in Euro) kosten nichts mehr und sind meist nach rund 1 Tag gutgeschrieben. Einzel-Auslandüberweisungen können bis zu 35 € pro Stück kosten, haben wir gelernt. Das grenzt an Wegelagerei bei den deutschen Banken.
Die Swedbank wählten wir, da wir Sparkassenkunden in DE sind und die Banken zusammenarbeiten. Bemerkenswert: die Englischkenntnisse der Bankmitarbeiter (auch bei den Jüngeren) waren nicht so gut wie erwartet. Deutsch ging gar nicht, und unser Schwedisch ist leider auch noch verbesserungsfähig. Dieselbe Spracherfahrung haben wir auch bei der Versicherung gemacht.
Man hilft gern, aber es geht nicht immer schnell voran in Schweden (versucht mal einen Termin mit dem Schornsteinfeger zu machen). Die können das mit dem Verwaltungskram mindestens so gut wie die Deutschen

Wenn man einen Einheimischen um Hilfe bittet, kann das die Dinge sehr beschleunigen.
Viele Grüße von der dicken Mieze